Производная x/sin(x)^(2)

Вы ввели

   x   
-------
   2   
sin (x)

$$\frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(- 2 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(- 2 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   1      2*x*cos(x)
------- - ----------
   2          3     
sin (x)    sin (x)  

$$- \frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                      2   \
  |    2*cos(x)   3*x*cos (x)|
2*|x - -------- + -----------|
  |     sin(x)         2     |
  \                 sin (x)  /
------------------------------
              2               
           sin (x)            

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 x + \frac{6 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /         2              3                \
  |    9*cos (x)   12*x*cos (x)   8*x*cos(x)|
2*|3 + --------- - ------------ - ----------|
  |        2            3           sin(x)  |
  \     sin (x)      sin (x)                /
---------------------------------------------
                      2                      
                   sin (x)                   

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{16 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{24 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 6 + \frac{18 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$