Производная (x/(x-2))^2

Вы ввели

       2
/  x  \ 
|-----| 
\x - 2/ 

$$\left(\frac{x}{x - 2}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x - 2}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x - 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x - 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x - 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 x}{\left(x - 2\right)^{3}}$

Первая производная

    2                              
   x             /  2       2*x   \
--------*(x - 2)*|----- - --------|
       2         |x - 2          2|
(x - 2)          \        (x - 2) /
-----------------------------------
                 x                 

$$\frac{x^{2}}{x} \frac{1}{x - 2} \left(- \frac{2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2}{x - 2}\right)$$

Вторая производная

  /       x   \ /      3*x  \
2*|-1 + ------|*|-1 + ------|
  \     -2 + x/ \     -2 + x/
-----------------------------
                  2          
          (-2 + x)           

$$\frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{3 x}{x - 2} - 1\right)$$

Третья производная

                /                                            2                            \
                |                              4*x        3*x                             |
                |                  x      1 - ------ + ---------          x               |
                |           -1 + ------       -2 + x           2   -1 + ------            |
  /       x   \ |    1           -2 + x                (-2 + x)         -2 + x      2*x   |
4*|-1 + ------|*|- ------ - ----------- - ---------------------- - ----------- - ---------|
  \     -2 + x/ |  -2 + x        x                  x                 -2 + x             2|
                \                                                                (-2 + x) /
-------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 2                                         
                                         (-2 + x)                                          

$$\frac{4}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(- \frac{2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{\frac{x}{x - 2} - 1}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) - \frac{1}{x} \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 2} + 1\right)\right)$$