Производная x/(x-2)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   x    
--------
       2
(x - 2) 
x(x2)2\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x и g(x)=(x2)2g{\left (x \right )} = \left(x - 2\right)^{2}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=x2u = x - 2.

    2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x2)\frac{d}{d x}\left(x - 2\right):

      1. дифференцируем x2x - 2 почленно:

        1. Производная постоянной 2-2 равна нулю.

        2. В силу правила, применим: xx получим 11

        В результате: 11

      В результате последовательности правил:

      2x42 x - 4

    Теперь применим правило производной деления:

    1(x2)4(x(2x4)+(x2)2)\frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}} \left(- x \left(2 x - 4\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right)

  2. Теперь упростим:

    x+2(x2)3- \frac{x + 2}{\left(x - 2\right)^{3}}


Ответ:

x+2(x2)3- \frac{x + 2}{\left(x - 2\right)^{3}}

График
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Первая производная [src]
   1       x*(4 - 2*x)
-------- + -----------
       2            4 
(x - 2)      (x - 2)  
x(2x+4)(x2)4+1(x2)2\frac{x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}
Вторая производная [src]
  /      3*x  \
2*|-2 + ------|
  \     -2 + x/
---------------
           3   
   (-2 + x)    
6xx24(x2)3\frac{\frac{6 x}{x - 2} - 4}{\left(x - 2\right)^{3}}
Третья производная [src]
  /     4*x  \
6*|3 - ------|
  \    -2 + x/
--------------
          4   
  (-2 + x)    
1(x2)4(24xx2+18)\frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}} \left(- \frac{24 x}{x - 2} + 18\right)