Производная (x/(x+1))^2

Вы ввели

       2
/  x  \ 
|-----| 
\x + 1/ 

$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x + 1}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x}{\left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{3}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{3}}$

Первая производная

    2                              
   x             /  2       2*x   \
--------*(x + 1)*|----- - --------|
       2         |x + 1          2|
(x + 1)          \        (x + 1) /
-----------------------------------
                 x                 

$$\frac{x^{2}}{x} \frac{1}{x + 1} \left(- \frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x + 1}\right)$$

Вторая производная

  /       x  \ /      3*x \
2*|-1 + -----|*|-1 + -----|
  \     1 + x/ \     1 + x/
---------------------------
                 2         
          (1 + x)          

$$\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 x}{x + 1} - 1\right)$$

Третья производная

               /                                        2                          \
               |                            4*x      3*x                           |
               |                 x     1 - ----- + --------          x             |
               |          -1 + -----       1 + x          2   -1 + -----           |
  /       x  \ |    1          1 + x               (1 + x)         1 + x     2*x   |
4*|-1 + -----|*|- ----- - ---------- - -------------------- - ---------- - --------|
  \     1 + x/ |  1 + x       x                 x               1 + x             2|
               \                                                           (1 + x) /
------------------------------------------------------------------------------------
                                             2                                      
                                      (1 + x)                                       

$$\frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) - \frac{1}{x} \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x + 1} + 1\right)\right)$$