Производная x/(x+1)^3

Вы ввели

   x    
--------
       3
(x + 1) 

$$\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \left(x + 1\right)^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $3 \left(x + 1\right)^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{6}} \left(- 3 x \left(x + 1\right)^{2} + \left(x + 1\right)^{3}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x + 1}{\left(x + 1\right)^{4}}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 x + 1}{\left(x + 1\right)^{4}}$

Первая производная

   1         3*x   
-------- - --------
       3          4
(x + 1)    (x + 1) 

$$- \frac{3 x}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Вторая производная

  /      2*x \
6*|-1 + -----|
  \     1 + x/
--------------
          4   
   (1 + x)    

$$\frac{\frac{12 x}{x + 1} - 6}{\left(x + 1\right)^{4}}$$

Третья производная

   /     5*x \
12*|3 - -----|
   \    1 + x/
--------------
          5   
   (1 + x)    

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}} \left(- \frac{60 x}{x + 1} + 36\right)$$