Производная x/(x^2+1)

Вы ввели

  x   
------
 2    
x  + 1

$$\frac{x}{x^{2} + 1}$$

d /  x   \
--|------|
dx| 2    |
  \x  + 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

               2  
  1         2*x   
------ - ---------
 2               2
x  + 1   / 2    \ 
         \x  + 1/ 

$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$$

Вторая производная

    /         2 \
    |      4*x  |
2*x*|-3 + ------|
    |          2|
    \     1 + x /
-----------------
            2    
    /     2\     
    \1 + x /     

$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /                   /         2 \\
  |                 2 |      2*x  ||
  |              4*x *|-1 + ------||
  |         2         |          2||
  |      4*x          \     1 + x /|
6*|-1 + ------ - ------------------|
  |          2              2      |
  \     1 + x          1 + x       /
------------------------------------
                     2              
             /     2\               
             \1 + x /               

$$\frac{6 \left(- \frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

График