Производная x/(x^3-1)

Вы ввели

  x   
------
 3    
x  - 1

$$\frac{x}{x^{3} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{3} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 2 x^{3} - 1}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x^{3} + 1}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x^{3} + 1}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

               3  
  1         3*x   
------ - ---------
 3               2
x  - 1   / 3    \ 
         \x  - 1/ 

$$- \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} - 1}$$

Вторая производная

     /          3 \
   2 |       3*x  |
6*x *|-2 + -------|
     |           3|
     \     -1 + x /
-------------------
              2    
     /      3\     
     \-1 + x /     

$$\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)$$

Третья производная

    /           6           3 \
    |       27*x        27*x  |
6*x*|-4 - ---------- + -------|
    |              2         3|
    |     /      3\    -1 + x |
    \     \-1 + x /           /
-------------------------------
                    2          
           /      3\           
           \-1 + x /           

$$\frac{6 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{27 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{27 x^{3}}{x^{3} - 1} - 4\right)$$