Производная x-2+sin(1/x)

Вы ввели

           /1\
x - 2 + sin|-|
           \x/

$$x - 2 + \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x - 2 + \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$ почленно:

   1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

      В результате: $1$

   2. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   3. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

---

Ответ:

$1 - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

Первая производная

       /1\
    cos|-|
       \x/
1 - ------
       2  
      x   

$$1 - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

              /1\
           sin|-|
     /1\      \x/
2*cos|-| - ------
     \x/     x   
-----------------
         3       
        x        

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

                /1\        /1\
             cos|-|   6*sin|-|
       /1\      \x/        \x/
- 6*cos|-| + ------ + --------
       \x/      2        x    
               x              
------------------------------
               4              
              x               

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{6}{x} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$