Производная (x-cos(x))*sin(x)

Вы ввели

(x - cos(x))*sin(x)

$$\left(x - \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x - \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )} + 1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\left(x - \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \right )} + \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (2 x \right )}$

Первая производная

(1 + sin(x))*sin(x) + (x - cos(x))*cos(x)

$$\left(x - \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \right )} + \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

cos(x)*sin(x) - (x - cos(x))*sin(x) + 2*(1 + sin(x))*cos(x)

$$- \left(x - \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} + 2 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

     2           2                                                 
- sin (x) + 3*cos (x) - (x - cos(x))*cos(x) - 3*(1 + sin(x))*sin(x)

$$- \left(x - \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \right )} - 3 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}$$