Производная (x-cot(x))/tan(x)

Вы ввели

x - cot(x)
----------
  tan(x)  

$$\frac{x - \cot{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x - \cot{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - \cot{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 1\right) \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x \tan{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} + 2}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{- x \tan{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} + 2}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2      /        2   \             
2 + cot (x)   \-1 - tan (x)/*(x - cot(x))
----------- + ---------------------------
   tan(x)                  2             
                        tan (x)          

$$\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                                                                   2                                           \
  |                                                      /       2   \                 /       2   \ /       2   \|
  |  /       2   \          /       2   \                \1 + tan (x)/ *(x - cot(x))   \1 + tan (x)/*\2 + cot (x)/|
2*|- \1 + cot (x)/*cot(x) - \1 + tan (x)/*(x - cot(x)) + --------------------------- - ---------------------------|
  |                                                                   2                           tan(x)          |
  \                                                                tan (x)                                        /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                       tan(x)                                                      

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) - 2 \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /             2                                                 3                                                                                         2                                2                                                    \
  |/       2   \                                     /       2   \                   /       2   \ /       2   \        2    /       2   \     /       2   \  /       2   \     /       2   \                   /       2   \ /       2   \       |
  |\1 + cot (x)/      /       2   \                3*\1 + tan (x)/ *(x - cot(x))   3*\1 + tan (x)/*\2 + cot (x)/   2*cot (x)*\1 + cot (x)/   3*\1 + tan (x)/ *\2 + cot (x)/   5*\1 + tan (x)/ *(x - cot(x))   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*cot(x)|
2*|-------------- - 2*\1 + tan (x)/*(x - cot(x)) - ----------------------------- - ----------------------------- + ----------------------- + ------------------------------ + ----------------------------- + ------------------------------------|
  |    tan(x)                                                    4                             tan(x)                       tan(x)                         3                                2                                  2                  |
  \                                                           tan (x)                                                                                   tan (x)                          tan (x)                            tan (x)               /

$$2 \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) - 2 \left(x - \cot{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{3 \cot{\left (x \right )}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{3}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan{\left (x \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)\right)$$