Производная x-(log(x)/x)

Вы ввели

    log(x)
x - ------
      x   

$$x - \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x - \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$

   В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + \log{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + \log{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

    1    log(x)
1 - -- + ------
     2      2  
    x      x   

$$1 + \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}}$$

Вторая производная

3 - 2*log(x)
------------
      3     
     x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 3\right)$$

Третья производная

-11 + 6*log(x)
--------------
       4      
      x       

$$\frac{1}{x^{4}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 11\right)$$