Производная ((x-1)/x)^2

Вы ввели

       2
/x - 1\ 
|-----| 
\  x  / 

$$\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x - 1\right)$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x^{3}} \left(2 x - 2\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{3}} \left(2 x - 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{3}} \left(2 x - 2\right)$

Первая производная

         2                
  (x - 1)  /2   2*(x - 1)\
x*--------*|- - ---------|
      2    |x        2   |
     x     \        x    /
--------------------------
          x - 1           

$$\frac{\frac{1}{x} \left(x - 1\right)^{2}}{x - 1} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right)$$

Вторая производная

  /    -1 + x\ /    3*(-1 + x)\
2*|1 - ------|*|1 - ----------|
  \      x   / \        x     /
-------------------------------
                2              
               x               

$$\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$$

Третья производная

               /                               2                                       \
               |        4*(-1 + x)   3*(-1 + x)                                        |
               |    1 - ---------- + -----------       -1 + x       -1 + x             |
               |            x              2       1 - ------   1 - ------             |
  /    -1 + x\ |1                         x              x            x      2*(-1 + x)|
4*|1 - ------|*|- + ---------------------------- - ---------- - ---------- + ----------|
  \      x   / |x              -1 + x                  x          -1 + x          2    |
               \                                                                 x     /
----------------------------------------------------------------------------------------
                                            2                                           
                                           x                                            

$$\frac{4}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(- \frac{1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(4 x - 4\right) + \frac{3}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right) - \frac{1}{x} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right)$$