Производная (x-3)/cot(x)

Вы ввели

x - 3 
------
cot(x)

$$\frac{x - 3}{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x - 3$ и $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 3\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 3\right)$

Первая производная

         /       2   \        
  1      \1 + cot (x)/*(x - 3)
------ + ---------------------
cot(x)             2          
                cot (x)       

$$\frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /                 /       2   \         \
  /       2   \ |      1          \1 + cot (x)/*(-3 + x)|
2*\1 + cot (x)/*|3 + ------ - x + ----------------------|
                |    cot(x)                 2           |
                \                        cot (x)        /
---------------------------------------------------------
                          cot(x)                         

$$\frac{2}{\cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- x + \frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 3 + \frac{1}{\cot{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                                                                                2         \
                |                      /       2   \     /       2   \              /       2   \          |
  /       2   \ |       3            3*\1 + cot (x)/   5*\1 + cot (x)/*(-3 + x)   3*\1 + cot (x)/ *(-3 + x)|
2*\1 + cot (x)/*|-6 - ------ + 2*x + --------------- - ------------------------ + -------------------------|
                |     cot(x)                3                     2                           4            |
                \                        cot (x)               cot (x)                     cot (x)         /

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 x + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) - \frac{5}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3}{\cot^{3}{\left (x \right )}} - 6 - \frac{3}{\cot{\left (x \right )}}\right)$$