Производная (x-3)/tan(x)

Вы ввели

x - 3 
------
tan(x)

$$\frac{x - 3}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x - 3$ и $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x + \sin{\left (2 x \right )} + 6}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 x + \sin{\left (2 x \right )} + 6}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

         /        2   \        
  1      \-1 - tan (x)/*(x - 3)
------ + ----------------------
tan(x)             2           
                tan (x)        

$$\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /                 /       2   \         \
  /       2   \ |          1      \1 + tan (x)/*(-3 + x)|
2*\1 + tan (x)/*|3 - x - ------ + ----------------------|
                |        tan(x)             2           |
                \                        tan (x)        /
---------------------------------------------------------
                          tan(x)                         

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- x + \frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 3 - \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                                                    2                                    \
                |                     /       2   \     /       2   \               /       2   \         |
  /       2   \ |      3            3*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/ *(-3 + x)   5*\1 + tan (x)/*(-3 + x)|
2*\1 + tan (x)/*|6 - ------ - 2*x + --------------- - ------------------------- + ------------------------|
                |    tan(x)                3                      4                          2            |
                \                       tan (x)                tan (x)                    tan (x)         /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 2 x - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) + \frac{5}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(x - 3\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3}{\tan^{3}{\left (x \right )}} + 6 - \frac{3}{\tan{\left (x \right )}}\right)$$