Производная (x-3)^2/x

Вы ввели

       2
(x - 3) 
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \left(x - 3\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(x - 3\right)^{2}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 3$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 3\right)$:

      1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $2 x - 6$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \left(2 x - 6\right) - \left(x - 3\right)^{2}\right)$

2. Теперь упростим:

   $1 - \frac{9}{x^{2}}$

---

Ответ:

$1 - \frac{9}{x^{2}}$

Первая производная

                  2
-6 + 2*x   (x - 3) 
-------- - --------
   x           2   
              x    

$$\frac{1}{x} \left(2 x - 6\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 3\right)^{2}$$

Вторая производная

  /            2             \
  |    (-3 + x)    2*(-3 + x)|
2*|1 + --------- - ----------|
  |         2          x     |
  \        x                 /
------------------------------
              x               

$$\frac{1}{x} \left(2 - \frac{1}{x} \left(4 x - 12\right) + \frac{2}{x^{2}} \left(x - 3\right)^{2}\right)$$

Третья производная

  /             2             \
  |     (-3 + x)    2*(-3 + x)|
6*|-1 - --------- + ----------|
  |          2          x     |
  \         x                 /
-------------------------------
                2              
               x               

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-6 + \frac{1}{x} \left(12 x - 36\right) - \frac{6}{x^{2}} \left(x - 3\right)^{2}\right)$$