Производная (x+cos(x))/(sin(x))

Вы ввели

x + cos(x)
----------
  sin(x)  

$$\frac{x + \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x + \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + 1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(x + \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \right )} + \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

1 - sin(x)   (x + cos(x))*cos(x)
---------- - -------------------
  sin(x)              2         
                   sin (x)      

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{- \sin{\left (x \right )} + 1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

         2                                         
    2*cos (x)*(x + cos(x))   2*(-1 + sin(x))*cos(x)
x + ---------------------- + ----------------------
              2                      sin(x)        
           sin (x)                                 
---------------------------------------------------
                       sin(x)                      

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(x + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)\right)$$

Третья производная

                           2           2                         3                                        
    3*(-1 + sin(x))   3*cos (x)   6*cos (x)*(-1 + sin(x))   6*cos (x)*(x + cos(x))   5*(x + cos(x))*cos(x)
1 - --------------- + --------- - ----------------------- - ---------------------- - ---------------------
         sin(x)           2                  3                        4                        2          
                       sin (x)            sin (x)                  sin (x)                  sin (x)       

$$- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \cos{\left (x \right )}\right) - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(x + \cos{\left (x \right )}\right) - \frac{3 \sin{\left (x \right )} - 3}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) + 1 + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

График