Производная (x+1/x)^5

Вы ввели

       5
/    1\ 
|x + -| 
\    x/ 

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{5}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $5 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)^{4}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{x^{6}} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)^{4}$

---

Ответ:

$\frac{5}{x^{6}} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)^{4}$

Первая производная

       4         
/    1\  /    5 \
|x + -| *|5 - --|
\    x/  |     2|
         \    x /

$$\left(5 - \frac{5}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)^{4}$$

Вторая производная

            /                  1\
          3 |          2   x + -|
   /    1\  |  /    1 \        x|
10*|x + -| *|2*|1 - --|  + -----|
   \    x/  |  |     2|       3 |
            \  \    x /      x  /

$$10 \left(x + \frac{1}{x}\right)^{3} \left(2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{x^{3}} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)$$

Третья производная

            /                     2     /    1 \ /    1\\
            |              /    1\    4*|1 - --|*|x + -||
          2 |          3   |x + -|      |     2| \    x/|
   /    1\  |  /    1 \    \    x/      \    x /        |
30*|x + -| *|2*|1 - --|  - -------- + ------------------|
   \    x/  |  |     2|        4               3        |
            \  \    x /       x               x         /

$$30 \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} \left(2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} + \frac{4}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x^{4}} \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}\right)$$