Производная (x+1/x)^3

Вы ввели

       3
/    1\ 
|x + -| 
\    x/ 

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)^{2}$

---

Ответ:

$\frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)^{2}$

Первая производная

       2         
/    1\  /    3 \
|x + -| *|3 - --|
\    x/  |     2|
         \    x /

$$\left(3 - \frac{3}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Вторая производная

          /                1\
          |        2   x + -|
  /    1\ |/    1 \        x|
6*|x + -|*||1 - --|  + -----|
  \    x/ ||     2|       3 |
          \\    x /      x  /

$$6 \left(x + \frac{1}{x}\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{x^{3}} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)$$

Третья производная

  /                     2     /    1 \ /    1\\
  |              /    1\    6*|1 - --|*|x + -||
  |        3   3*|x + -|      |     2| \    x/|
  |/    1 \      \    x/      \    x /        |
6*||1 - --|  - ---------- + ------------------|
  ||     2|         4                3        |
  \\    x /        x                x         /

$$6 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} + \frac{6}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) - \frac{3}{x^{4}} \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}\right)$$