Производная (x+1+log(x))/x

Вы ввели

x + 1 + log(x)
--------------
      x       

$$\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x + \log{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + \log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      3. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $1 + \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \left(1 + \frac{1}{x}\right) - x - \log{\left (x \right )} - 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )}$

Первая производная

    1                 
1 + -                 
    x   x + 1 + log(x)
----- - --------------
  x            2      
              x       

$$\frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)$$

Вторая производная

     3   2*(1 + x + log(x))
-2 - - + ------------------
     x           x         
---------------------------
              2            
             x             

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 2 \log{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{3}{x}\right)$$

Третья производная

    11   6*(1 + x + log(x))
6 + -- - ------------------
    x            x         
---------------------------
              3            
             x             

$$\frac{1}{x^{3}} \left(6 - \frac{1}{x} \left(6 x + 6 \log{\left (x \right )} + 6\right) + \frac{11}{x}\right)$$