Производная ((x+1)^x)/x

Вы ввели

       x
(x + 1) 
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right)^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \left(x + 1\right)^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \left(x + 1\right)^{x}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x^{x + 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \left(x + 1\right)^{x}\right)$

Первая производная

                    x /  x               \
         x   (x + 1) *|----- + log(x + 1)|
  (x + 1)             \x + 1             /
- -------- + -----------------------------
      2                    x              
     x                                    

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{x} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{x}$$

Вторая производная

         /                                    x       /  x               \\
         |                    2        -2 + -----   2*|----- + log(1 + x)||
       x |/  x               \    2         1 + x     \1 + x             /|
(1 + x) *||----- + log(1 + x)|  + -- - ---------- - ----------------------|
         |\1 + x             /     2     1 + x                x           |
         \                        x                                       /
---------------------------------------------------------------------------
                                     x                                     

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{x} \left(\left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}\right)^{2} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 2}{x + 1} - \frac{1}{x} \left(\frac{2 x}{x + 1} + 2 \log{\left (x + 1 \right )}\right) + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

         /                                                                2                                                                                \
         |                                   2*x      /  x               \      /  x               \     /       x  \ /  x               \     /       x  \|
         |                    3        -3 + -----   3*|----- + log(1 + x)|    6*|----- + log(1 + x)|   3*|-2 + -----|*|----- + log(1 + x)|   3*|-2 + -----||
       x |/  x               \    6         1 + x     \1 + x             /      \1 + x             /     \     1 + x/ \1 + x             /     \     1 + x/|
(1 + x) *||----- + log(1 + x)|  - -- + ---------- - ----------------------- + ---------------------- - ----------------------------------- + --------------|
         |\1 + x             /     3           2               x                         2                            1 + x                    x*(1 + x)   |
         \                        x     (1 + x)                                         x                                                                  /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                             x                                                                              

$$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)^{x} \left(\left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}\right)^{3} - \frac{3}{x + 1} \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right) \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}\right) + \frac{\frac{2 x}{x + 1} - 3}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3}{x} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (x + 1 \right )}\right)^{2} + \frac{\frac{3 x}{x + 1} - 6}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}} \left(\frac{6 x}{x + 1} + 6 \log{\left (x + 1 \right )}\right) - \frac{6}{x^{3}}\right)$$