Производная x+((x+a)/x)

Вы ввели

    x + a
x + -----
      x  

$$x + \frac{1}{x} \left(a + x\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x + \frac{1}{x} \left(a + x\right)$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = a + x$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $a + x$ почленно:

         1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{a}{x^{2}}$

   В результате: $- \frac{a}{x^{2}} + 1$

---

Ответ:

$- \frac{a}{x^{2}} + 1$

Первая производная

    1   x + a
1 + - - -----
    x      2 
          x  

$$1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(a + x\right)$$

Вторая производная

  /     a + x\
2*|-1 + -----|
  \       x  /
--------------
       2      
      x       

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 a + 2 x\right)\right)$$

Третья производная

  /    a + x\
6*|1 - -----|
  \      x  /
-------------
       3     
      x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(6 - \frac{1}{x} \left(6 a + 6 x\right)\right)$$