Производная x*log(sin(x))

Вы ввели

x*log(sin(x))

$$x \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

Первая производная

x*cos(x)              
-------- + log(sin(x))
 sin(x)               

$$\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

                     2   
     2*cos(x)   x*cos (x)
-x + -------- - ---------
      sin(x)        2    
                 sin (x) 

$$- x - \frac{x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Третья производная

          2             3                
     3*cos (x)   2*x*cos (x)   2*x*cos(x)
-3 - --------- + ----------- + ----------
         2            3          sin(x)  
      sin (x)      sin (x)               

$$\frac{2 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$