Производная x*log(x)/x

Вы ввели

x*log(x)
--------
   x    

$$\frac{x}{x} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\log{\left (x \right )} + 1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - x \log{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x}$

Первая производная

1 + log(x)   log(x)
---------- - ------
    x          x   

$$\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}$$

Вторая производная

-1 
---
  2
 x 

$$- \frac{1}{x^{2}}$$

Третья производная

2 
--
 3
x 

$$\frac{2}{x^{3}}$$