Производная x*sin(pi/x)

Вы ввели

     /pi\
x*sin|--|
     \x /

$$x \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{\pi}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\pi}{x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$

   В результате: $\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} - \frac{\pi}{x} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} - \frac{\pi}{x} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$

Первая производная

        /pi\          
  pi*cos|--|          
        \x /      /pi\
- ---------- + sin|--|
      x           \x /

$$\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} - \frac{\pi}{x} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$

Вторая производная

   2    /pi\ 
-pi *sin|--| 
        \x / 
-------------
       3     
      x      

$$- \frac{\pi^{2}}{x^{3}} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$

Третья производная

    /                  /pi\\
    |            pi*cos|--||
  2 |     /pi\         \x /|
pi *|3*sin|--| + ----------|
    \     \x /       x     /
----------------------------
              4             
             x              

$$\frac{\pi^{2}}{x^{4}} \left(3 \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} + \frac{\pi}{x} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )}\right)$$