Производная x*sin(1/x)

Вы ввели

     /1\
x*sin|-|
     \x/

$$x \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   В результате: $\sin{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\sin{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

Первая производная

     /1\         
  cos|-|         
     \x/      /1\
- ------ + sin|-|
    x         \x/

$$\sin{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

    /1\ 
-sin|-| 
    \x/ 
--------
    3   
   x    

$$- \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Третья производная

              /1\
           cos|-|
     /1\      \x/
3*sin|-| + ------
     \x/     x   
-----------------
         4       
        x        

$$\frac{1}{x^{4}} \left(3 \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$