Производная x*tan(1/x)

Вы ввели

     /1\
x*tan|-|
     \x/

$$x \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате: $\frac{x}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) + \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} - 2}{x \left(\cos{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} - 2}{x \left(\cos{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right)}$

Первая производная

         2/1\         
  1 + tan |-|         
          \x/      /1\
- ----------- + tan|-|
       x           \x/

$$\tan{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/1\\    /1\
2*|1 + tan |-||*tan|-|
  \        \x//    \x/
----------------------
           3          
          x           

$$\frac{2}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Третья производная

                 /                  2/1\        2/1\\
                 |           1 + tan |-|   2*tan |-||
   /       2/1\\ |     /1\           \x/         \x/|
-2*|1 + tan |-||*|3*tan|-| + ----------- + ---------|
   \        \x// \     \x/        x            x    /
-----------------------------------------------------
                           4                         
                          x                          

$$- \frac{2}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$