Производная x*tan(x/2)

Вы ввели

     /x\
x*tan|-|
     \2/

$$x \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате: $\frac{x}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{x + \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

  /       2/x\\         
  |    tan |-||         
  |1       \2/|      /x\
x*|- + -------| + tan|-|
  \2      2   /      \2/

$$x \left(\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right) + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

                /       2/x\\    /x\
              x*|1 + tan |-||*tan|-|
       2/x\     \        \2//    \2/
1 + tan |-| + ----------------------
        \2/             2           

$$\frac{x}{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} + \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1$$

Третья производная

/       2/x\\ /     /x\     /       2/x\\          2/x\\
|1 + tan |-||*|6*tan|-| + x*|1 + tan |-|| + 2*x*tan |-||
\        \2// \     \2/     \        \2//           \2//
--------------------------------------------------------
                           4                            

$$\frac{1}{4} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 6 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$