Производная x*tan(x)/2

Вы ввели

x*tan(x)
--------
   2    

$$\frac{x}{2} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}$

   Таким образом, в результате: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{2 \cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

           /       2   \
tan(x)   x*\1 + tan (x)/
------ + ---------------
  2             2       

$$\frac{x}{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

       2        /       2   \       
1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)

$$x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1$$

Третья производная

/       2   \ /             /       2   \          2   \
\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/

$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (x \right )} + 3 \tan{\left (x \right )}\right)$$