Производная x^4/cos(x)

Вы ввели

   4  
  x   
------
cos(x)

$$\frac{x^{4}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{4}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x^{4} \sin{\left (x \right )} + 4 x^{3} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{3} \left(x \tan{\left (x \right )} + 4\right)}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3} \left(x \tan{\left (x \right )} + 4\right)}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

    3     4       
 4*x     x *sin(x)
------ + ---------
cos(x)       2    
          cos (x) 

$$\frac{x^{4} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{4 x^{3}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /             2    2                \
 2 |      2   2*x *sin (x)   8*x*sin(x)|
x *|12 + x  + ------------ + ----------|
   |               2           cos(x)  |
   \            cos (x)                /
----------------------------------------
                 cos(x)                 

$$\frac{x^{2}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{8 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 12\right)$$

Третья производная

  /                3             3    3          2    2                 \
  |         2   5*x *sin(x)   6*x *sin (x)   24*x *sin (x)   36*x*sin(x)|
x*|24 + 12*x  + ----------- + ------------ + ------------- + -----------|
  |                cos(x)          3               2            cos(x)  |
  \                             cos (x)         cos (x)                 /
-------------------------------------------------------------------------
                                  cos(x)                                 

$$\frac{x}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x^{3} \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{5 x^{3} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{24 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 12 x^{2} + \frac{36 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 24\right)$$