Производная (x^4/sin(x))

Вы ввели

   4  
  x   
------
sin(x)

$$\frac{x^{4}}{\sin{\left(x \right)}}$$

  /   4  \
d |  x   |
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{4}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{3} \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 4\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3} \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 4\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

Первая производная

    3     4       
 4*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{4} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{4 x^{3}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

   /        /         2   \             \
 2 |      2 |    2*cos (x)|   8*x*cos(x)|
x *|12 + x *|1 + ---------| - ----------|
   |        |        2    |     sin(x)  |
   \        \     sin (x) /             /
-----------------------------------------
                  sin(x)                 

$$\frac{x^{2} \left(x^{2} \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{8 x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 12\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /                                              /         2   \       \
  |                                            3 |    6*cos (x)|       |
  |                                           x *|5 + ---------|*cos(x)|
  |           /         2   \                    |        2    |       |
  |         2 |    2*cos (x)|   36*x*cos(x)      \     sin (x) /       |
x*|24 + 12*x *|1 + ---------| - ----------- - -------------------------|
  |           |        2    |      sin(x)               sin(x)         |
  \           \     sin (x) /                                          /
------------------------------------------------------------------------
                                 sin(x)                                 

$$\frac{x \left(- \frac{x^{3} \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 12 x^{2} \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{36 x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 24\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

График