Производная x^2/cot(x)

Вы ввели

   2  
  x   
------
cot(x)

$$\frac{x^{2}}{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{x^{2} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 2 x \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(x + \sin{\left (2 x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(x + \sin{\left (2 x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

          2 /       2   \
 2*x     x *\1 + cot (x)/
------ + ----------------
cot(x)          2        
             cot (x)     

$$\frac{x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 x}{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                                       2                    \
  |                        2 /       2   \        /       2   \|
  |     2 /       2   \   x *\1 + cot (x)/    2*x*\1 + cot (x)/|
2*|1 - x *\1 + cot (x)/ + ----------------- + -----------------|
  |                               2                 cot(x)     |
  \                            cot (x)                         /
----------------------------------------------------------------
                             cot(x)                             

$$\frac{1}{\cot{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (x \right )}} - 2 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{4 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot{\left (x \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

                /                                                                 2                    \
                |                             2 /       2   \      2 /       2   \        /       2   \|
  /       2   \ |   2      3       6*x     5*x *\1 + cot (x)/   3*x *\1 + cot (x)/    6*x*\1 + cot (x)/|
2*\1 + cot (x)/*|2*x  + ------- - ------ - ------------------ + ------------------- + -----------------|
                |          2      cot(x)           2                     4                    3        |
                \       cot (x)                 cot (x)               cot (x)              cot (x)     /

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{3 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} - \frac{5 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 2 x^{2} + \frac{6 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{3}{\left (x \right )}} - \frac{6 x}{\cot{\left (x \right )}} + \frac{3}{\cot^{2}{\left (x \right )}}\right)$$