Производная x^2/sqrt(1-x^2)

Вы ввели

      2    
     x     
-----------
   ________
  /      2 
\/  1 - x  

$$\frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{- x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x^{2} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $- 2 x$

         В результате: $- 2 x$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{- x^{2} + 1} \left(\frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + 2 x \sqrt{- x^{2} + 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(- x^{2} + 2\right)}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(- x^{2} + 2\right)}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

      3                  
     x            2*x    
----------- + -----------
        3/2      ________
/     2\        /      2 
\1 - x /      \/  1 - x  

$$\frac{x^{3}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$$

Вторая производная

          4         2 
       3*x       5*x  
2 + --------- + ------
            2        2
    /     2\    1 - x 
    \1 - x /          
----------------------
        ________      
       /      2       
     \/  1 - x        

$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}} \left(\frac{3 x^{4}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{5 x^{2}}{- x^{2} + 1} + 2\right)$$

Третья производная

    /          4         2 \
    |       5*x       9*x  |
3*x*|4 + --------- + ------|
    |            2        2|
    |    /     2\    1 - x |
    \    \1 - x /          /
----------------------------
                3/2         
        /     2\            
        \1 - x /            

$$\frac{3 x}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(\frac{5 x^{4}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{9 x^{2}}{- x^{2} + 1} + 4\right)$$