Производная x^2/sin(x)

Вы ввели

   2  
  x   
------
sin(x)

$$\frac{x^{2}}{\sin{\left(x \right)}}$$

  /   2  \
d |  x   |
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 2\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(- \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + 2\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

Первая производная

          2       
 2*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

       /         2   \             
     2 |    2*cos (x)|   4*x*cos(x)
2 + x *|1 + ---------| - ----------
       |        2    |     sin(x)  
       \     sin (x) /             
-----------------------------------
               sin(x)              

$$\frac{x^{2} \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{4 x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 2}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

                                      /         2   \       
                                    2 |    6*cos (x)|       
                                   x *|5 + ---------|*cos(x)
                 /         2   \      |        2    |       
  6*cos(x)       |    2*cos (x)|      \     sin (x) /       
- -------- + 6*x*|1 + ---------| - -------------------------
   sin(x)        |        2    |             sin(x)         
                 \     sin (x) /                            
------------------------------------------------------------
                           sin(x)                           

$$\frac{- \frac{x^{2} \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 6 x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

График