Производная (x^2)/sin(x)

Вы ввели

   2  
  x   
------
sin(x)

$$\frac{x^{2}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x^{2} \cos{\left (x \right )} + 2 x \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 2\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 2\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

          2       
 2*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{2} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 x}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                         2    2   
     2   4*x*cos(x)   2*x *cos (x)
2 + x  - ---------- + ------------
           sin(x)          2      
                        sin (x)   
----------------------------------
              sin(x)              

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(x^{2} + \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{4 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

                    2    3         2                  2   
      6*cos(x)   6*x *cos (x)   5*x *cos(x)   12*x*cos (x)
6*x - -------- - ------------ - ----------- + ------------
       sin(x)         3            sin(x)          2      
                   sin (x)                      sin (x)   
----------------------------------------------------------
                          sin(x)                          

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x^{2} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 x^{2} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 6 x + \frac{12 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$