Производная (x^2+5)/x

Вы ввели

 2    
x  + 5
------
  x   

$$\frac{x^{2} + 5}{x}$$

  / 2    \
d |x  + 5|
--|------|
dx\  x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 5}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} + 5$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 5$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} - 5}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $1 - \frac{5}{x^{2}}$

---

Ответ:

$1 - \frac{5}{x^{2}}$

Первая производная

     2    
    x  + 5
2 - ------
       2  
      x   

$$2 - \frac{x^{2} + 5}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /          2\
  |     5 + x |
2*|-1 + ------|
  |        2  |
  \       x   /
---------------
       x       

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{x^{2} + 5}{x^{2}}\right)}{x}$$

Третья производная

  /         2\
  |    5 + x |
6*|1 - ------|
  |       2  |
  \      x   /
--------------
       2      
      x       

$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 5}{x^{2}}\right)}{x^{2}}$$

График