Производная x^e*sin(x)

Вы ввели

 E       
x *sin(x)

$$x^{e} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{e}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{e}$ получим $\frac{e x^{e}}{x}$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $x^{e} \cos{\left (x \right )} + \frac{e x^{e}}{x} \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x^{-1 + e} \left(x \cos{\left (x \right )} + e \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$x^{-1 + e} \left(x \cos{\left (x \right )} + e \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

               E       
 E          E*x *sin(x)
x *cos(x) + -----------
                 x     

$$x^{e} \cos{\left (x \right )} + \frac{e x^{e}}{x} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   /           2                               \
 E |          e *sin(x)   E*sin(x)   2*E*cos(x)|
x *|-sin(x) + --------- - -------- + ----------|
   |               2          2          x     |
   \              x          x                 /

$$x^{e} \left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{2 e}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{e}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} + \frac{e^{2}}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /           3                                       2                                 2\
 E |          e *sin(x)   3*E*sin(x)   3*E*cos(x)   3*e *sin(x)   2*E*sin(x)   3*cos(x)*e |
x *|-cos(x) + --------- - ---------- - ---------- - ----------- + ---------- + -----------|
   |               3          x             2             3            3             2    |
   \              x                        x             x            x             x     /

$$x^{e} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{3 e}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{3 e}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} + \frac{3 e^{2}}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{3 e^{2}}{x^{3}} \sin{\left (x \right )} + \frac{2 e}{x^{3}} \sin{\left (x \right )} + \frac{e^{3}}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}\right)$$