Производная (x^5)/(1-x)

Вы ввели

   5 
  x  
-----
1 - x

$$\frac{x^{5}}{- x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{5}$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{5} + 5 x^{4} \left(- x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{4} \left(- 4 x + 5\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{4} \left(- 4 x + 5\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    5          4
   x        5*x 
-------- + -----
       2   1 - x
(1 - x)         

$$\frac{x^{5}}{\left(- x + 1\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{- x + 1}$$

Вторая производная

     /           2            \
   3 |          x        5*x  |
2*x *|-10 - --------- + ------|
     |              2   -1 + x|
     \      (-1 + x)          /
-------------------------------
             -1 + x            

$$\frac{2 x^{3}}{x - 1} \left(- \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{5 x}{x - 1} - 10\right)$$

Третья производная

     /           3            2           \
   2 |          x          5*x       10*x |
6*x *|-10 + --------- - --------- + ------|
     |              3           2   -1 + x|
     \      (-1 + x)    (-1 + x)          /
-------------------------------------------
                   -1 + x                  

$$\frac{6 x^{2}}{x - 1} \left(\frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{10 x}{x - 1} - 10\right)$$