Производная x^5/sin(x)

Вы ввели

   5  
  x   
------
sin(x)

$$\frac{x^{5}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{5}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x^{5} \cos{\left (x \right )} + 5 x^{4} \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{4} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 5\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{4} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 5\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

    4     5       
 5*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{5} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{5 x^{4}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /                           2    2   \
 3 |      2   10*x*cos(x)   2*x *cos (x)|
x *|20 + x  - ----------- + ------------|
   |             sin(x)          2      |
   \                          sin (x)   /
-----------------------------------------
                  sin(x)                 

$$\frac{x^{3}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x^{2} + \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{10 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 20\right)$$

Третья производная

   /                              3    3         3              2    2   \
 2 |         2   60*x*cos(x)   6*x *cos (x)   5*x *cos(x)   30*x *cos (x)|
x *|60 + 15*x  - ----------- - ------------ - ----------- + -------------|
   |                sin(x)          3            sin(x)           2      |
   \                             sin (x)                       sin (x)   /
--------------------------------------------------------------------------
                                  sin(x)                                  

$$\frac{x^{2}}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 x^{3} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 15 x^{2} + \frac{30 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{60 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 60\right)$$