Производная x^5*tan(x)

Вы ввели

 5       
x *tan(x)

$$x^{5} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{5}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{x^{5}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + 5 x^{4} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{4}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{x^{4}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

Первая производная

 5 /       2   \      4       
x *\1 + tan (x)/ + 5*x *tan(x)

$$x^{5} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 5 x^{4} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   3 /                /       2   \    2 /       2   \       \
2*x *\10*tan(x) + 5*x*\1 + tan (x)/ + x *\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 x^{3} \left(x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 5 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 10 \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

     /                            2                                                                               \
   2 |             3 /       2   \         /       2   \      3    2    /       2   \       2 /       2   \       |
2*x *\30*tan(x) + x *\1 + tan (x)/  + 30*x*\1 + tan (x)/ + 2*x *tan (x)*\1 + tan (x)/ + 15*x *\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 x^{2} \left(x^{3} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 x^{3} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 15 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 30 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 30 \tan{\left (x \right )}\right)$$