Производная x^3/cos(x)

Вы ввели

   3  
  x   
------
cos(x)

$$\frac{x^{3}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x^{3} \sin{\left (x \right )} + 3 x^{2} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(x \tan{\left (x \right )} + 3\right)}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(x \tan{\left (x \right )} + 3\right)}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

    2     3       
 3*x     x *sin(x)
------ + ---------
cos(x)       2    
          cos (x) 

$$\frac{x^{3} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 x^{2}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /            2    2                \
  |     2   2*x *sin (x)   6*x*sin(x)|
x*|6 + x  + ------------ + ----------|
  |              2           cos(x)  |
  \           cos (x)                /
--------------------------------------
                cos(x)                

$$\frac{x}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x^{2} + \frac{6 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 6\right)$$

Третья производная

              3             3    3                        2    2   
       2   5*x *sin(x)   6*x *sin (x)   18*x*sin(x)   18*x *sin (x)
6 + 9*x  + ----------- + ------------ + ----------- + -------------
              cos(x)          3            cos(x)           2      
                           cos (x)                       cos (x)   
-------------------------------------------------------------------
                               cos(x)                              

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x^{3} \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{5 x^{3} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{18 x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 9 x^{2} + \frac{18 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 6\right)$$