Производная x^3/cot(x)

Вы ввели

   3  
  x   
------
cot(x)

$$\frac{x^{3}}{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{x^{3} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 3 x^{2} \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right)$

Первая производная

    2     3 /       2   \
 3*x     x *\1 + cot (x)/
------ + ----------------
cot(x)          2        
             cot (x)     

$$\frac{x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 x^{2}}{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

    /                                       2                    \
    |                        2 /       2   \        /       2   \|
    |     2 /       2   \   x *\1 + cot (x)/    3*x*\1 + cot (x)/|
2*x*|3 - x *\1 + cot (x)/ + ----------------- + -----------------|
    |                               2                 cot(x)     |
    \                            cot (x)                         /
------------------------------------------------------------------
                              cot(x)                              

$$\frac{2 x}{\cot{\left (x \right )}} \left(\frac{x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (x \right )}} - x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{3 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot{\left (x \right )}} + 3\right)$$

Третья производная

  /                                                                     2                     3                                         2\
  |                                 2 /       2   \      3 /       2   \       3 /       2   \        /       2   \      2 /       2   \ |
  |  3         3 /       2   \   9*x *\1 + cot (x)/   5*x *\1 + cot (x)/    3*x *\1 + cot (x)/    9*x*\1 + cot (x)/   9*x *\1 + cot (x)/ |
2*|------ + 2*x *\1 + cot (x)/ - ------------------ - ------------------- + ------------------- + ----------------- + -------------------|
  |cot(x)                              cot(x)                  2                     4                    2                    3         |
  \                                                         cot (x)               cot (x)              cot (x)              cot (x)      /

$$2 \left(\frac{3 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} - \frac{5 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 2 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{9 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (x \right )}} - \frac{9 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot{\left (x \right )}} + \frac{9 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\cot{\left (x \right )}}\right)$$