Производная (x^3)/(1-x)

Вы ввели

   3 
  x  
-----
1 - x

$$\frac{x^{3}}{- x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{3} + 3 x^{2} \left(- x + 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(- 2 x + 3\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(- 2 x + 3\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    3          2
   x        3*x 
-------- + -----
       2   1 - x
(1 - x)         

$$\frac{x^{3}}{\left(- x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{- x + 1}$$

Вторая производная

    /          2            \
    |         x        3*x  |
2*x*|-3 - --------- + ------|
    |             2   -1 + x|
    \     (-1 + x)          /
-----------------------------
            -1 + x           

$$\frac{2 x}{x - 1} \left(- \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 x}{x - 1} - 3\right)$$

Третья производная

  /          3            2           \
  |         x          3*x       3*x  |
6*|-1 + --------- - --------- + ------|
  |             3           2   -1 + x|
  \     (-1 + x)    (-1 + x)          /
---------------------------------------
                 -1 + x                

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{6 x^{3}}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{18 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{18 x}{x - 1} - 6\right)$$