Производная x^3/sin(x)

Вы ввели

   3  
  x   
------
sin(x)

$$\frac{x^{3}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x^{3} \cos{\left (x \right )} + 3 x^{2} \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 3\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 3\right)}{\sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

    2     3       
 3*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 x^{2}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                         2    2   \
  |     2   6*x*cos(x)   2*x *cos (x)|
x*|6 + x  - ---------- + ------------|
  |           sin(x)          2      |
  \                        sin (x)   /
--------------------------------------
                sin(x)                

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} \left(x^{2} + \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$

Третья производная

                            3    3         3              2    2   
       2   18*x*cos(x)   6*x *cos (x)   5*x *cos(x)   18*x *cos (x)
6 + 9*x  - ----------- - ------------ - ----------- + -------------
              sin(x)          3            sin(x)           2      
                           sin (x)                       sin (x)   
-------------------------------------------------------------------
                               sin(x)                              

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 x^{3} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 9 x^{2} + \frac{18 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{18 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$