Производная (x^3+1)/x

Вы ввели

 3    
x  + 1
------
  x   

$$\frac{x^{3} + 1}{x}$$

  / 3    \
d |x  + 1|
--|------|
dx\  x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{3} + 1}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3} + 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $2 x - \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

       3    
      x  + 1
3*x - ------
         2  
        x   

$$3 x - \frac{x^{3} + 1}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /     3\
2*\1 + x /
----------
     3    
    x     

$$\frac{2 \left(x^{3} + 1\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

  /         3\
  |    1 + x |
6*|1 - ------|
  |       3  |
  \      x   /
--------------
      x       

$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{x^{3} + 1}{x^{3}}\right)}{x}$$

График