Производная (x^x-1)^-1

Вы ввели

  1   
------
 x    
x  - 1

$$\frac{1}{x^{x} - 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{x} - 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{x} - 1\right)$:

   1. дифференцируем $x^{x} - 1$ почленно:

      1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

         Но производная

         $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

      2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      В результате: $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

  x              
-x *(1 + log(x)) 
-----------------
            2    
    / x    \     
    \x  - 1/     

$$- \frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

   /                         x             2\
 x |  1               2   2*x *(1 + log(x)) |
x *|- - - (1 + log(x))  + ------------------|
   |  x                              x      |
   \                           -1 + x       /
---------------------------------------------
                           2                 
                  /      x\                  
                  \-1 + x /                  

$$\frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x^{x}}{x^{x} - 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

   /                                         2*x             3      x             3      x             \
 x |1                3   3*(1 + log(x))   6*x   *(1 + log(x))    6*x *(1 + log(x))    6*x *(1 + log(x))|
x *|-- - (1 + log(x))  - -------------- - -------------------- + ------------------ + -----------------|
   | 2                         x                        2                   x              /      x\   |
   |x                                          /      x\              -1 + x             x*\-1 + x /   |
   \                                           \-1 + x /                                               /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        2                                               
                                               /      x\                                                
                                               \-1 + x /                                                

$$\frac{x^{x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{6 x^{2 x}}{\left(x^{x} - 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} + \frac{6 x^{x}}{x^{x} - 1} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} - \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} + \frac{6 x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)}{x \left(x^{x} - 1\right)} - \frac{1}{x} \left(3 \log{\left (x \right )} + 3\right) + \frac{1}{x^{2}}\right)$$