Производная x-sqrt(x^2-2*x)

Вы ввели

       __________
      /  2       
x - \/  x  - 2*x 

$$x - \sqrt{x^{2} - 2 x}$$

  /       __________\
d |      /  2       |
--\x - \/  x  - 2*x /
dx                   

$$\frac{d}{d x} \left(x - \sqrt{x^{2} - 2 x}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x - \sqrt{x^{2} - 2 x}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x^{2} - 2 x$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} - 2 x$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $2$

               Таким образом, в результате: $-2$

            В результате: $2 x - 2$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x}}$

   В результате: $- \frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x}} + 1$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x + \sqrt{x \left(x - 2\right)} + 1}{\sqrt{x \left(x - 2\right)}}$

---

Ответ:

$\frac{- x + \sqrt{x \left(x - 2\right)} + 1}{\sqrt{x \left(x - 2\right)}}$

Первая производная

        -1 + x   
1 - -------------
       __________
      /  2       
    \/  x  - 2*x 

$$- \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} + 1$$

Вторая производная

             2 
     (-1 + x)  
-1 + ----------
     x*(-2 + x)
---------------
   ____________
 \/ x*(-2 + x) 

$$\frac{-1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}}{\sqrt{x \left(x - 2\right)}}$$

Третья производная

  /            2 \         
  |    (-1 + x)  |         
3*|1 - ----------|*(-1 + x)
  \    x*(-2 + x)/         
---------------------------
                  3/2      
      (x*(-2 + x))         

$$\frac{3 \cdot \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x - 1\right)}{\left(x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$$

График