Производная log(2*cos(2*x)+1)*sqrt(cot(x))

Вы ввели

                      ________
log(2*cos(2*x) + 1)*\/ cot(x) 

$$\log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 \cos{\left (2 x \right )} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $2 \cos{\left (2 x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = 2 x$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $2$

               В результате последовательности правил:

               $- 2 \sin{\left (2 x \right )}$

            Таким образом, в результате: $- 4 \sin{\left (2 x \right )}$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $- 4 \sin{\left (2 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{4 \sin{\left (2 x \right )}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

   $g{\left (x \right )} = \sqrt{\cot{\left (x \right )}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}$

   В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )}}{2 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}} - \frac{4 \sin{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \left(4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \sqrt{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}} \left(- 4 \log{\left (- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \right )} + \frac{3}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \right )} - 16 \sin^{2}{\left (x \right )} + 16\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \left(4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \sqrt{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}} \left(- 4 \log{\left (- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \right )} + \frac{3}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \right )} - 16 \sin^{2}{\left (x \right )} + 16\right)$

Первая производная

/         2   \                                            
|  1   cot (x)|                                            
|- - - -------|*log(2*cos(2*x) + 1)       ________         
\  2      2   /                       4*\/ cot(x) *sin(2*x)
----------------------------------- - ---------------------
               ________                   2*cos(2*x) + 1   
             \/ cot(x)                                     

$$\frac{1}{\sqrt{\cot{\left (x \right )}}} \left(- \frac{1}{2} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{2}\right) \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} - \frac{4 \sin{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

                                                                                                              2                                                  
                                                    ________    2            ________            /       2   \                            /       2   \          
  ________ /       2   \                       16*\/ cot(x) *sin (2*x)   8*\/ cot(x) *cos(2*x)   \1 + cot (x)/ *log(1 + 2*cos(2*x))     4*\1 + cot (x)/*sin(2*x) 
\/ cot(x) *\1 + cot (x)/*log(1 + 2*cos(2*x)) - ----------------------- - --------------------- - ---------------------------------- + ---------------------------
                                                                  2          1 + 2*cos(2*x)                      3/2                                     ________
                                                  (1 + 2*cos(2*x))                                          4*cot   (x)               (1 + 2*cos(2*x))*\/ cot(x) 

$$- \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{4 \cot^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (2 x \right )}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right) \sqrt{\cot{\left (x \right )}}} - \frac{8 \cos{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1} - \frac{16 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

             2                                                                                                                                          3                                                                                                               2                                                                       
/       2   \                              ________    3                                                             ________              /       2   \                             ________                          ________ /       2   \              /       2   \                  /       2   \                    2      /       2   \ 
\1 + cot (x)/ *log(1 + 2*cos(2*x))   128*\/ cot(x) *sin (2*x)        3/2    /       2   \                       16*\/ cot(x) *sin(2*x)   3*\1 + cot (x)/ *log(1 + 2*cos(2*x))   96*\/ cot(x) *cos(2*x)*sin(2*x)   12*\/ cot(x) *\1 + cot (x)/*sin(2*x)   3*\1 + cot (x)/ *sin(2*x)     12*\1 + cot (x)/*cos(2*x)     24*sin (2*x)*\1 + cot (x)/ 
---------------------------------- - ------------------------ - 2*cot   (x)*\1 + cot (x)/*log(1 + 2*cos(2*x)) + ---------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------- - ------------------------------------ + -------------------------- + --------------------------- + ----------------------------
               ________                                 3                                                           1 + 2*cos(2*x)                        5/2                                          2                     1 + 2*cos(2*x)                                  3/2                         ________                   2   ________
           2*\/ cot(x)                  (1 + 2*cos(2*x))                                                                                             8*cot   (x)                       (1 + 2*cos(2*x))                                                  (1 + 2*cos(2*x))*cot   (x)   (1 + 2*cos(2*x))*\/ cot(x)    (1 + 2*cos(2*x)) *\/ cot(x) 

$$- \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{8 \cot^{\frac{5}{2}}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} + \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{\cot{\left (x \right )}}} \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \cos{\left (2 x \right )} + 1 \right )} \cot^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (2 x \right )}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right) \cot^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} - \frac{12 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1} + \frac{12 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right) \sqrt{\cot{\left (x \right )}}} + \frac{16 \sin{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{2 \cos{\left (2 x \right )} + 1} + \frac{24 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{2}{\left (2 x \right )}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}} - \frac{96 \sin{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{128 \sin^{3}{\left (2 x \right )} \sqrt{\cot{\left (x \right )}}}{\left(2 \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{3}}$$