Производная sqrt(x^3+sin(3*x))

Вы ввели

   _______________
  /  3            
\/  x  + sin(3*x) 

$$\sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      2. Заменим $u = 3 x$.

      3. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left (3 x \right )}$

      В результате: $3 x^{2} + 3 \cos{\left (3 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 x^{2} + 3 \cos{\left (3 x \right )}}{2 \sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 x^{2} + 3 \cos{\left (3 x \right )}}{2 \sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2} + 3 \cos{\left (3 x \right )}}{2 \sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}}$

Первая производная

   2              
3*x    3*cos(3*x) 
---- + ---------- 
 2         2      
------------------
   _______________
  /  3            
\/  x  + sin(3*x) 

$$\frac{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cos{\left (3 x \right )}}{\sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}}$$

Вторая производная

  /                                  2\
  |                   / 2           \ |
  |    3*sin(3*x)   3*\x  + cos(3*x)/ |
3*|x - ---------- - ------------------|
  |        2          / 3           \ |
  \                 4*\x  + sin(3*x)/ /
---------------------------------------
              _______________          
             /  3                      
           \/  x  + sin(3*x)           

$$\frac{1}{\sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}} \left(3 x - \frac{9 \left(x^{2} + \cos{\left (3 x \right )}\right)^{2}}{4 x^{3} + 4 \sin{\left (3 x \right )}} - \frac{9}{2} \sin{\left (3 x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                                   3                                        \
  |                    / 2           \      / 2           \                    |
  |    9*cos(3*x)   27*\x  + cos(3*x)/    9*\x  + cos(3*x)/*(-3*sin(3*x) + 2*x)|
3*|1 - ---------- + ------------------- - -------------------------------------|
  |        2                          2               / 3           \          |
  |                    / 3           \              4*\x  + sin(3*x)/          |
  \                  8*\x  + sin(3*x)/                                         /
--------------------------------------------------------------------------------
                                  _______________                               
                                 /  3                                           
                               \/  x  + sin(3*x)                                

$$\frac{1}{\sqrt{x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}}} \left(- \frac{27 \left(2 x - 3 \sin{\left (3 x \right )}\right) \left(x^{2} + \cos{\left (3 x \right )}\right)}{4 x^{3} + 4 \sin{\left (3 x \right )}} + \frac{81 \left(x^{2} + \cos{\left (3 x \right )}\right)^{3}}{8 \left(x^{3} + \sin{\left (3 x \right )}\right)^{2}} - \frac{27}{2} \cos{\left (3 x \right )} + 3\right)$$

График