Производная (x^2-4*x+1)/(x^2-4*x+5)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 2          
x  - 4*x + 1
------------
 2          
x  - 4*x + 5

$$\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} - 4 x + 5}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} - 4 x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} - 4 x + 5$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 4 x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-4$

      В результате: $2 x - 4$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 4 x + 5$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-4$

      В результате: $2 x - 4$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}} \left(- \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right) + \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} - 4 x + 5\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{8 x - 16}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{8 x - 16}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                         / 2          \
  -4 + 2*x     (4 - 2*x)*\x  - 4*x + 1/
------------ + ------------------------
 2                               2     
x  - 4*x + 5       / 2          \      
                   \x  - 4*x + 5/      

$$\frac{\left(- 2 x + 4\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /         2                   2              2 /     2      \\
  |    1 + x  - 4*x   4*(-2 + x)     4*(-2 + x) *\1 + x  - 4*x/|
2*|1 - ------------ - ------------ + --------------------------|
  |         2              2                            2      |
  |    5 + x  - 4*x   5 + x  - 4*x        /     2      \       |
  \                                       \5 + x  - 4*x/       /
----------------------------------------------------------------
                               2                                
                          5 + x  - 4*x                          

$$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} \left(\frac{8 \left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}} - \frac{8 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{2 x^{2} - 8 x + 2}{x^{2} - 4 x + 5} + 2\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

            /          2                   2              2 /     2      \\
            |     1 + x  - 4*x   2*(-2 + x)     2*(-2 + x) *\1 + x  - 4*x/|
24*(-2 + x)*|-1 + ------------ + ------------ - --------------------------|
            |          2              2                            2      |
            |     5 + x  - 4*x   5 + x  - 4*x        /     2      \       |
            \                                        \5 + x  - 4*x/       /
---------------------------------------------------------------------------
                                            2                              
                              /     2      \                               
                              \5 + x  - 4*x/                               

$$\frac{24}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}} \left(x - 2\right) \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}} + \frac{2 \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2} - 4 x + 5} + \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} - 4 x + 5} - 1\right)$$

Упростить