Производная log(x-5*tan(2*x))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

log(x - 5*tan(2*x))

$$\log{\left (x - 5 \tan{\left (2 x \right )} \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Заменим $u = x - 5 \tan{\left (2 x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 5 \tan{\left (2 x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x - 5 \tan{\left (2 x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

               Один из способов:

               1. Заменим $u = 2 x$.

               2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $2$

                  В результате последовательности правил:

                  $\frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(10 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 10 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right)$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(10 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 10 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right)$

      В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(10 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 10 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}} \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(10 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 10 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) + 1\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4 \sin^{4}{\left (x \right )} - 4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 9}{\left(x - 5 \tan{\left (2 x \right )}\right) \cos^{2}{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{4 \sin^{4}{\left (x \right )} - 4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 9}{\left(x - 5 \tan{\left (2 x \right )}\right) \cos^{2}{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

           2     
-9 - 10*tan (2*x)
-----------------
  x - 5*tan(2*x) 

$$\frac{- 10 \tan^{2}{\left (2 x \right )} - 9}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

 /                  2                              \ 
 |/          2     \                               | 
 |\9 + 10*tan (2*x)/       /       2     \         | 
-|------------------- + 40*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x)| 
 \   x - 5*tan(2*x)                                / 
-----------------------------------------------------
                    x - 5*tan(2*x)                   

$$- \frac{1}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}} \left(40 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan{\left (2 x \right )} + \frac{\left(10 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 9\right)^{2}}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

   /                                        3                                                                                \
   |                  2   /          2     \                                      /       2     \ /          2     \         |
   |   /       2     \    \9 + 10*tan (2*x)/          2      /       2     \   60*\1 + tan (2*x)/*\9 + 10*tan (2*x)/*tan(2*x)|
-2*|40*\1 + tan (2*x)/  + ------------------- + 80*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/ + ----------------------------------------------|
   |                                       2                                                   x - 5*tan(2*x)                |
   \                       (x - 5*tan(2*x))                                                                                  /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        x - 5*tan(2*x)                                                        

$$- \frac{1}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}} \left(80 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} + 160 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (2 x \right )} + \frac{120 \tan{\left (2 x \right )}}{x - 5 \tan{\left (2 x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(10 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 9\right) + \frac{2 \left(10 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 9\right)^{3}}{\left(x - 5 \tan{\left (2 x \right )}\right)^{2}}\right)$$

Упростить